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Nalini Anantharaman Chaire Chaire Géométrie spectrale Collège de France Année 2025-2026 09 - Convergences de spectres et notes fondamentales : Travaux de Haagerup–Thorbjørnsen sur la convergence spectrale forte des matrices gaussiennes II Résumé On démontre que la transformée de Stieltjes des matrices aléatoires hermitiennes NxN est point fixe d'une certaine transformation (à N^{-2} près).

Nalini Anantharaman Chaire Chaire Géométrie spectrale Collège de France Année 2025-2026 08 - Convergences de spectres et notes fondamentales : Travaux de Haagerup–Thorbjørnsen sur la convergence spectrale forte des matrices gaussiennes

Nalini Anantharaman Chaire Chaire Géométrie spectrale Collège de France Année 2025-2026 07 - Convergences de spectres et notes fondamentales : La méthode polynomiale Résumé Cet exposé présente les principales idées de la « méthode polynomiale » de Chen--Garza-Vargas--Tropp--Van Handel pour démontrer la convergence spectrale forte.

Nalini Anantharaman Chaire Chaire Géométrie spectrale Collège de France Année 2025-2026 06 - Convergences de spectres et notes fondamentales : Convergence spectrale forte : fin de la preuve de Friedman, introduction à la méthode polynomiale. Travaux de Haagerup–Thorbjørnsen pour les matrices gaussiennes

Nalini Anantharaman Chaire Chaire Géométrie spectrale Collège de France Année 2025-2026 05 - Convergences de spectres et notes fondamentales : Convergence spectrale forte : preuve de Friedman de la conjecture d'Alon II

Nalini Anantharaman Chaire Géométrie spectrale Collège de France Année 2025-2026 04 - Convergences de spectres et notes fondamentales : Convergence spectrale forte : preuve de Friedman de la conjecture d'Alon Résumé Après avoir terminé d'énoncer les conséquences de la convergence au sens de Benjamini et Schramm pour des suites d'espaces métriques mesurés, nous nous tournons vers la notion de convergence spectrale forte. Les prochaines séances seront consacrées au cas des modèles de graphes réguliers aléatoires et à la démonstration par Joel Friedman de la convergence spectrale forte presque sûre.

Nalini Anantharaman Chaire Géométrie spectrale Collège de France Année 2025-2026 03 - Convergences de spectres et notes fondamentales : Convergence au sens de Benjamini et Schramm

Nalini Anantharaman Chaire Géométrie spectrale Année 2025-2026 Collège de France 02 - Convergences de spectres et notes fondamentales : Notions de convergences géométriques et spectrales II

Nalini Anantharaman Chaire Géométrie spectrale Collège de France Année 2025-2026 01 - Convergences de spectres et notes fondamentales : Notions de convergences géométriques et spectrales I

Nalini Anantharaman Géométrie spectrale Collège de France Année 2024-2025 Colloque - Géométries aléatoires et applications - Yilin Wang : The Brownian Loop Measure on Riemann Surfaces and Applications to Length Spectra Intervenant : Yilin Wang IHES Résumé The goal of this talk is to showcase how we can use stochastic processes to study the geometry of surfaces. More precisely, we use the Brownian loop measure to express the lengths of closed geodesics on a hyperbolic surface and zeta-regularized determinant of the Laplace-Beltrami operator. This gives a tool to study the length spectra of a hyperbolic surface and we obtain a new identity between the length spectrum of a compact surface and that of the same surface with an arbitrary number of additional cusps. This is a joint work with Yuhao Xue (IHES).

Nalini Anantharaman Géométrie spectrale Collège de France Année 2024-2025 Colloque - Géométries aléatoires et applications - Jérémie Bouttier : Sur l'énumération des cartes à bords géodésiques On the Enumeration of Maps with Geodesic Boundaries Intervenant : Jérémie Bouttier Sorbonne Université Résumé Les cartes combinatoires sont des surfaces discrètes obtenues par recollement de polygones. Les premiers résultats d'énumération les concernant ont été obtenus par Tutte dans les années 1960. Au cours des années 1980-90, elles ont été très étudiées en physique théorique (sous divers vocables : diagrammes planaires, graphes-ruban...) en raison de leurs liens avec la gravité quantique bidimensionnelle et les modèles de matrices. Enfin, depuis les années 2000, de nouvelles approches combinatoires et probabilistes ont conduit à d'importants développements. Après avoir donné un aperçu de cette longue histoire, j'évoquerai quelques résultats obtenus en collaboration avec Emmanuel Guitter et Grégory Miermont, sur l'énumération des cartes à bords géodésiques. Ceux-ci suggèrent une analogie avec la géométrie hyperbolique, déjà observée dans d'autres contextes, dont notamment la récurrence topologique. Nous aimerions parvenir à une explication « bijective » de cette analogie.

Nalini Anantharaman Géométrie spectrale Collège de France Année 2024-2025 Colloque - Géométries aléatoires et applications - Thierry Lévy : Volume de l'espace des modules de connexions plates, d'après Witten Volume of the Moduli Space of Flat Connections, After Witten Intervenant : Thierry Lévy Sorbonne Université Résumé Dans cet exposé, je présenterai la manière dont Witten a calculé, au début des années 1990, le volume symplectique de l'espace des modules de connexions plates sur un fibré principal au-dessus d'une surface compacte sans bord. L'idée principale de Witten était d'approcher la mesure de Liouville sur l'espace des connexions plates par une mesure sur l'espace de toutes les connexions (modulo tranformations de jauge), la mesure de Yang—Mills non normalisée, dont il est "facile" de calculer le volume, en tout cas à un certain niveau heuristique.

Nalini Anantharaman Géométrie spectrale Collège de France Année 2024-2025 Colloque - Géométries aléatoires et applications - Bertrand Eynard : Les géometries aléatoires dans le miroir de la géometrie algébrique Random Geometry in the Mirror of Algebraic Geometry Intervenant : Bertrand Eynard CEA Saclay Résumé La géométrie aléatoire consiste à calculer des espérances et probabilités sur des objets géométriques aléatoires, typiquement des surfaces (surfaces hyperboliques, surfaces discrètes, surfaces immergées dans un espace cible, ou portant certains champs, etc.) Fait remarquable, les fonctions génératrices comptant les surfaces de topologie fixée sont souvent des fonctions algébriques. De plus, il existe une récurrence universelle appelée récurrence topologique, qui relie l'énumération des surfaces de genre g avec n bords à celle des disques (g=0,n=1) : « si vous savez énumérer les disques, la récurrence topologique vous dit comment énumérer toutes les topologies. » La fonction génératrice des disques est appelée la courbe spectrale. Cette observation permet de reformuler le problème d'énumération dans le langage de la géométrie algébrique : une fois la courbe spectrale spécifiée, toutes les autres fonctions génératrices peuvent être dérivées. Ce cadre peut également être interprété à travers le prisme de la symétrie miroir. Dans cette perspective, un problème d'énumération est le « miroir » d'une courbe algébrique, et les calculs d'énumération se traduisent en calculs d'analyse complexe sur cette courbe.

Nalini Anantharaman Géométrie spectrale Collège de France Année 2024-2025 Colloque - Géométries aléatoires et applications - Adrien Sauvaget : Constantes de Siegel-Veech des surfaces de translation Intervenant : Adrien Sauvaget CNRS, Université Cergy-Pontoise Résumé Une surface de translation est une surface de Riemann munie d'une différentielle holomorphe. Cette différentielle définit une métrique plate (hors du lieu singulier) dont l'holonomie est triviale. J'expliquerai comment le comptage de géodésique longues sur une surface de translation générique a été permis par l'étude des espaces des modules associés. Ces résultats mêlent des arguments de théorie ergodique, de théorie des représentations et de géométrie algébrique.

Nalini Anantharaman Géométrie spectrale Collège de France Année 2024-2025 Colloque - Géométries aléatoires et applications : Modèles d'images aléatoires et applications en mammographie digitale Intervenante : Agnès Desolneux CNRS, École normale supérieure Paris-Saclay Résumé In this talk I will present several random image models that are else explicit (such as Gaussian models or Boolean models for instance), or more "implicit" (such as images generated by a neural network). I will discuss how these models are used to understand the detectability of some lesions in digital mammograms. I will also discuss another interest of such models, which is that they allow to perform virtual clinical trials. ---- Le terme « géométrie aléatoire » désigne tout processus permettant de construire de manière aléatoire un objet géométrique ou des familles d'objets géométriques. Un procédé simple consiste à assembler aléatoirement des éléments de base : sommets et arêtes dans le cas des graphes aléatoires, triangles ou carrés dans certains modèles de surfaces aléatoires, ou encore triangles, « pantalons » ou tétraèdres hyperboliques dans le cadre des géométries hyperboliques. La théorie des graphes aléatoires imprègne toutes les branches des mathématiques actuelles, des plus théoriques (théorie des groupes, algèbres d'opérateurs, etc.) aux plus appliquées (modélisation de réseaux de communication, par exemple). En mathématiques, l'approche probabiliste consiste à évaluer la probabilité qu'une propriété géométrique donnée apparaisse : lorsque l'on ne sait pas si un théorème est vrai, on peut tenter de démontrer qu'il l'est dans 99 % des cas. Une autre méthode classique pour générer des paysages aléatoires consiste à utiliser les séries de Fourier aléatoires, avec de nombreuses applications en théorie du signal ou en imagerie. En physique théorique, les géométries aléatoires sont au cœur de la théorie de la gravité quantique et d'autres théories des champs quantiques. Les différents aspects mathématiques s'y retrouvent curieusement entremêlés, par exemple, la combinatoire des quadrangulations ou des triangulations apparaît dans le calcul de certaines fonctions de partition. Ce colloque offrira un panorama non exhaustif des géométries aléatoires, couvrant des aspects allant des plus abstraits aux applications concrètes en imagerie et télécommunications.